Большая Советская Энциклопедия

Понятие: "НАЧАЛА" ЕВКЛИДА,

источник - Большая Советская Энциклопедия




"НАЧАЛА" ЕВКЛИДА (греч. Stoicheia, букв.- азбука; переносное значение - основные начала), научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трёхсотлетнему развитию греч. математики и создал прочный фундамент для дальнейших математич. исследований. "Н." E. не являются, однако, энциклопедией матем. знаний своей эпохи. Так, в "Н." E. не излагается теория конич. сечений, к-рая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

"Н." E. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см. Дедукция). Вслед за определением основных геометрич. понятий и объектов (напр., точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (напр., равностороннего треугольника) путём их построения, к-рое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения нек-рых элементарных построений, напр, "что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию" (I постулат); "И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг" (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): "И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых". Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ H. И. Лобачевского, построившего первую систему неевклидовой геометрии, в к-рой этот постулат не выпочняется (см. Лобачевского геометрия). За постулатами в "Н." E. приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Напр.: "Равные одному и тому же равны и между собой" (1-я аксиома); "И целое больше части" (8-я аксиома).

С совр. точки зрения система аксиом и постулатов "Н." E. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения "Н." E. полностью выяснились лишь в кон. 19 в. после работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия). До этого на протяжении более 2 тыс. лет "Н." E. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.

"Н." E. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются осн. свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой. В книге II излагается т. н. геометрич. алгебра, т. е. строится геометрич. аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраич. символика в "Н." E. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й пол. 5 в. до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским', её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й пол. 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге X даётся классификация квадратичных и биквадратич-ных иррациональностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значит, часть книг X и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (нач. 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к "Н." E. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом "Н." E.

"Н. " E. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст "Н." E. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й пол. 9 в.). В кон. 8 в. - нач. 9 в. появляются переводы "Н." E. на араб. язык. Первый перевод на лат. язык был сделан с арабского Ателхардом Бат-ским в 1-й четв. 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст "Н." E. точно не восстановлен. Первое печатное издание "Н." E. в переводе Дж. Кампано на лат. язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен ок. 1250-1260; Кампано использовал как араб, источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гей-берга ("Euclidis Elementa", v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в к-ром приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На рус. яз. "Н." E. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание - "Начала Евклида", пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1-3, 1948-50.

Лит.: История математики с древнейших времён до начала нового времени, т. 1, M., 1970. И. Г.Башмакова, А. И. Маркушевич.



Copyright © 2017    ·    О проекте: «Рефераты, Энциклопедии, Словари On-Line»    ·
Поиск информации: "НАЧАЛА" ЕВКЛИДА - Книга рекордов Гиннесса