Большая Советская Энциклопедия

Понятие: ТОМ,

источник - Большая Советская Энциклопедия




том, что построение, требуемое высказыванием А, выполнено. (При этом "приведение к противоречию" считается первоначальным понятием.) Импликацию
1409-59.jpg
можно утверждать тогда и только тогда, когда мы располагаем таким построением, к-рое, будучи объединено с любым построением, требуемым высказыванием А, даёт построение, требуемое высказыванием В.
Формула
1409-60.jpg
наз. интуиционистски общезначимой тогда и только тогда, когда можно утверждать всякое высказывание, получаемое из 21 в результате подстановки любых математич. суждений вместо логич. переменных; точнее говоря, в том случае, когда имеется общий метод, позволяющий при произвольной такой подстановке получать построение, требуемое результатом подстановки. При этом понятие общего метода интуиционисты также считают первоначальным .

Формулы 1-10 являются интуиционистски общезначимыми, тогда как формула И, выражающая классич. закон исключённого третьего, не является таковой.

В известном отношении близкой к интуиционизму является точка зрения конструктивной математики, уточняющая несколько расплывчатые интуиционистские понятия импликации и общего метода на основе точного понятия алгоритма. С этой точки зрения закон исключённого третьего также отвергается. Л. конструктивной математики находится в стадии разработки.

С методом формализации доказательств связано понятие формальной системы. Формальная система включает след, элементы.

1. Формализованный язык с точным синтаксисом, состоящий из точных и формальных правил построения осмысленных выражений, наз.ф ормулами данного языка.

2. Чёткую семантику этого языка, состоящую из соглашений, определяющих понимание формул и тем самым условия их истинности.

3. Исчисление (см. выше), состоящее из формализованных аксиом и формальных правил вывода. При наличии семантики эти правила должны быть согласованы с ней, т. е. при применении к верным формулам давать верные формулы. Исчисление определяет выводы (см. выше) и выводимые формулы - заключительные формулы выводов. Для выводов имеется распознающий алгоритм - единый общий метод, с помощью которого для любой цепочки знаков, применяемых в исчислении, можно узнавать, является ли она выводом. Для выводимых формул распознающий алгоритм может быть и невозможен (примером является исчисление предикатов, см. Логика предикатов).

Об исчислении говорят, что оно н е- противоречиво, если в нём не выводима никакая формула 21 вместе с формулой П 21. Задача установления непротиворечивости применяемых в математике исчислений является одной из главных задач математич. Л. Имея в виду охват той или иной содержательно определённой области математики, исчисление считают полным относительно этой области, если в нём выводима всякая формула, выражающая верное утверждение из этой области. Другое понятие полноты исчисления связано с требованием иметь для всякого утверждения, формулируемого в данном исчислении, либо его доказательство, либо его опровержение. Первостепенное значение в связи с этими понятиями имеет теорема Гёделя, утверждающая несовместимость требований полноты с требованием непротиворечивости для весьма широкого класса исчислений. Согласно теореме Гёделя, никакое непротиворечивое исчисление из этого класса не может быть полным относительно арифметики: для всякого такого исчисления может быть построено верное арифметич. утверждение, формализуемое, но не выводимое в исчислении. Эта теорема, не снижая значения математич. Л. как мощного организующего средства в науке, убивает надежды на эту дисциплину как на нечто способное осуществить охват математики в рамках одной формальной системы. Надежды такого рода высказывались многими учёными, в том числе основоположником математического формализма Гильбертом.

В 70-е гг. 20 в. получила развитие идея полуформальной системы. Полуформальная система - это также система некоторых правил вывода. Однако некоторые из этих правил могут иметь существенно иной характер, чем правила вывода формальной системы. Они, например, могут допускать выведение новой формулы после того, как с помощью интуиции создалось убеждение в выводимости любой формулы такого-то вида. Сочетание этой идеи с идеей ступенчатого построения математической Л. лежит в основе одного из совр. построений логики конструктивной математики. В приложениях математич. Л. часто применяются исчисления предикатов - классическое и интуиционистское.

Математич. Л. органически связана с кибернетикой, в частности с математич. теорией управляющих систем и математической лингвистикой. Приложения математич. Л. к релейно-контактным схемам основаны на том, что всякая двухполюсная релейно-контактная схема в след, смысле моделирует нек-рую формулу 21 классич. исчисления высказываний. Если схема управляется п реле, то столько же различных пропозициональных переменных содержит И, и если обозначить через Si суждение "Реле номер i сработало", то цепь будет тогда и только тогда замкнута, когда будет верен результат подстановки суждений 23( вместо соответствующих логич. переменных в 21. Построение такой моделируемой формулы, описывающей "условия работы" схемы, оказывается особенно простым для т. н. П - с х е м, получаемых из элементарных одноконтактных цепей путём параллельных и последоват. соединений. Это связано с тем, что параллельные и последоват. соединения цепей моделируют соответственно дизъюнкцию и конъюнкцию суждений. Действительно, цепь, полученная путём параллельного (последовательного) соединения цепей Ц1 и Ц2, тогда и только тогда замкнута, когда замкнута цепь U, i или (и) замкнута цепь Ц2. Применение исчисления высказываний к релейно-контактным схемам открыло плодотворный подход к важным проблемам совр. техники. Это же применение обусловило постановку и частичное решение многих новых и трудных проблем математич. Л., к числу к-рых в первую очередь относится т. н. п р о- б л е м а минимизации, состоящая в разыскании эффективных методов нахождения простейшей формулы, равносильной данной формуле.

Релейно-контактные схемы являются частным случаем управляющих схем, применяемых в совр. автоматах. Управляющие схемы иных типов, в частности схемы из электронных ламп или полупроводниковых элементов, имеющие ещё большее практич. значение, также могут быть разрабатываемы с помощью математич. Л., к-рая доставляет адекватные средства как для анализа, так и для синтеза таких схем. Язык математич. Л. оказался также применимым в теории программирования, создаваемой в связи с развитием машинной математики. Наконец, созданный математич. Л. аппарат исчислений оказался применимым в математической лингвистике, изучающей язык математическими методами. А. А.Марков.

Научные учреждения и издания. Преподавание и исследовательская работа по Л. являются неотъемлемой частью научной и культурной жизни большинства стран мира. В СССР н.-и. работа в области Л. ведётся в основном в н.-и. центрах Москвы, Ленинграда, Новосибирска, Киева, Кишинёва, Риги, Вильнюса, Тбилиси, Еревана и др. городов отделениями математич. ин-тов АН СССР и союзных республик, ин-тами философии, кафедрами Л. ун-тов и нек-рых др. вузов. Публикации работ по Л. в СССР осуществляются: в непе- риодич. изданиях в форме тематич. сборников и монографий (в частности, начиная с 1959 в серии "Математическая логика и основания математики"), в непе- риодич. изданиях "Трудов Математич. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР" (с 1931), в сборниках "Алгебра и логика" (Новосибирск, с 1962), в "Записках" науч. семинаров по Л., в математич. и филос. журналах. В реферативном журн. "Математика" и в реферативных журналах Ин-та научной информации по обществ, наукам АН СССР систематически освещаются работы советских и за_рубеж- ных авторов по Л. Из спец. зарубежных изданий, освещающих проблематику Л., наиболее известны: международная монография, серия "Studies in Logic..." (Amst., с 1965) и журналы: "The Journal of Symbolic Logic" (Providence, с 1936); "Zeit- schrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik" (В., с 1955); "Archiv fur mathematische Logik und Grundlagenforschung" (Stuttg., с 1950); "Logique et analyse" (Louvain, с 1958); "Journal of philosophical logic" (Dordrecht, с 1972); "International logic review" (Bologna, с 1970); "Studia Logica"(Warsz., с 1953); "Notre Dame Journal of formal Logic" (Notre Dame, с I960).

Осн. организац. работу, связанную с обменом науч. информацией в области Л., осуществляет пользующаяся поддержкой ООН Лссо1..;иаи, ия символической логики. Ассоциация организует междунар. конгрессы по Л., методологии и философии науки. Первый такой конгресс состоялся в 1960 в Станфорде (США), второй - в 1964 в Иерусалиме, третий - в 1967 в Амстердаме, четвёртый - в 1971 в Бухаресте. 3. А. Кузияева, М. М. Новосёлов.

Лит.: Основные классические работы. Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., М-, 1952; L е i b- n iz G. W., Fragmente zur Logik, В., 1960; Кант И., Логика, пер. с нем.. П., 1915; Милль Дж. С., Система логики силлогистической и индуктивной, пер. с англ., 2 изд., М., 1914; De Morgan A., Formal logic or the calculus of inference, necessary and probable, L., 1847 (перепечатка, L., 1926); Boole G., The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of deductive reasoning, L.- Camb., 1847 (перепечатка, N. Y., 1965); Schroder E., Der Operationskreis des Logikkalkuls, Lpz., 1877; Frege G.. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachge- bildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879; Джевонс С., Основы науки. Трактат о логике и научном методе, пер. с англ., СПБ, 1881; П о р е ц к и и П. С., О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики, Казань, 1884; Whitehead A. N.. Russell В., Principia mathematica, 2 ed., . v. 1-3, Camb., 1925-27.

История. Владиславлев М., Логика, СПБ, 1872 (см. "Приложение"); Троицкий М., Учебник логики с подробным указанием на историю и современное состояние этой науки в России и в других странах, т. 1 - 3, М., 1885 - 88; Яновская С. А., Основания математики и математическая логика, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет, М.- Л., 1948; её же, Математическая логика и основания математики, в кн.: Математика в СССР за сорок лет, т. 1, М., 1959; П о п о в П. С., История логики нового времени, М., 1960; Котарбиньский Т., Лекции по истории логики, Избр. произв., пер. с польск., М., 1963, с. 353-606; Стяжкин Н. И., Формирование математической логики, М., . 1967; Prantl К., Geschichte der Logik im Abendlan.de, Bd 1-4, Lpz., 1855 - 70; Bochenski I. M., Formale Logik, Munch.. 1956;Minio Paluello L., Twelfth century logic. Texts and Studies, v. 1-2, Roma, 1956 - 58; ScholzH., Abriss der Geschichte der Logik, Freiburg - Munch., 1959;. Lewis C. I., A survey of symbolic logic, N. Y., 1960; I 0 r g e n s e n J., A treatise of formal logic: Its evolution and main branches with its relation to mathematics and philosophy, v. 1-3, N. Y., 1962; К n e a 1 e W., Kneale M., The development of logic.. 2 ed., Oxf., 1964; D u m i t r i u A., Istoria Iqgicii, Buc., 1969; В 1 a n с h e R., La lo- gique et son histoire. D'Aristote a Russell, P., 1971; BerkaK., К r e i s e r L., Logik - Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, В., 1971.

Учебные курсы. Гильберт Д., А к- к е р м а н В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Таре кий А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959; Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Г ж е- горчик А., Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений, пер. с польск., М., 1965; Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971; М а р к о в А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972.

Некоторые монографии. К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; ГейтингА., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; К а р р и X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; HilbertD., В е г- nays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1-2, В., 1934-39; Markov A. A., Essai de construction d'une logique de la mathe- matique constructive, Brux., 1971.

Энциклопедии и словари. Философская энциклопедия, т. 1 - 5, М., 1960-70; Кондаков Н. И., Логический словарь, М., 1971; Encyclopedia of Philosophy, v. 1-8, N.Y., 1967; Mala encyklopedia Logiki, Wroctaw - Warsz.- Krakow, 1970.

Библиография. Примаковский А. П., Библиография по логике. Хронологический указатель произведений по вопросам логики, изданных на русском языке в СССР в 18-20 вв., М., 1955; И вин А. А., Примаковский А. П., Зарубежная литература по проблемам логики (1960- 1966), "Вопросы философии", 1968, № 2; Church A., A bibliography of symbolic logic, "The Journal of Symbolic Logic", 1936, v. 1, № 4; е г о ж е, Additions and corrections to "A bibliography of symbolic logic", там же, 1938, v. 3, № 4; Beth E. W., Symbolische Logik und Grundlegung der exakten Wissenschaften, Bern, 1948 (Bibliog- raphische Einfuhrung in das Studium der Philosophic, Bd 3); Brie G. A. de, Biblio- graphia Philosophica. 1934-1945, Bd 1-2, Brux., _ 1950-54; Kung G., Bibliography of soviet works in the field of mathematical logic and the foundations of mathematics, from 1917 - 1957, "Notre Dame Journal of F9rmal Locic", 1962, >fe 3; H a n g g i J., Bibliographie der Sovjetischen Logik, Bd 2, Winterthur, 1971.



Copyright © 2017    ·    О проекте: «Рефераты, Энциклопедии, Словари On-Line»    ·
Поиск информации: ТОМ - Книга рекордов Гиннесса